Интервали от увеличаване и намаляване онлайн функциите

Правила за въвеждане на функции.

1. Всички математически операции, изразени по отношение на обичайните символи (+, -, *, /, ^). Например, 2 х + х, написан като х ^ 2 + х.
2. Квадратен корен: SQRT. Например, SQRT (х ^ 2 + 1/2). arcsin (х) = ASIN (х). д х = ехр (х). номер π = Pi.

функционални тестове, използвайки производното

Определение. x0 точка се нарича локален максимум, ако следващата неравенството притежава всички х в района на x0: F (x0)> е (х).

Определение. Точка x0 се нарича локален минимум точка, ако за всички х в околността на неравенство x0: F (x0) Минималната и максималната точка функция, наречена екстремални точки на функцията. и стойностите на функцията в тези пунктове - крайности на функции.
Екстремални точки могат да служат само като критична точка от тип I, т.е. точки, принадлежащи към областта на функцията, в която производно F '(X) е нула или прекъсване.

Правило за намиране екстремум на функция у = F (х), с използване на първата производна

1. Намери производно функция F '(х).
2. Намерете най-критичните точки на първата производна, т.е. точката, в която производното става нула или прекъсване.
3. За да се изследва знака на първата производна в междините, което води до критичните точки разделят домен на F функция (х). Ако F интервал '(х) <0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f ’(x)> 0, тогава тази функция увеличава интервал.
4. Ако близост до критичната точка на F '(х) се променя знак от "+", за да "-", тази точка е максималната точка, ако един "-" за "+", минималната точка.
5. Изчисляват се стойностите на функцията на минимуми и максимуми.

С помощта на алгоритъма може да се намери не само крайните точки на функции, но и периоди на увеличаване и намаляване функция.

Пример №1. Виж интервали от монотонността и крайности на функция е (х) = х 3 - 3x 2.
Решение: намери първата производна на функцията F '(х) = 3x 2 - 6x.
Критичните точки на първата производна чрез решаване на уравнение 3x 2 - 6x = 0; 3x (х-2) = 0; х = 0, X = 2

Ние разследваме поведението на първата производна на критичните точки и интервалите между тях.

F (0) = 0 3 - 0, 3 * 2 0 =
е (2) = 2 3 - 3 2 * 2 = -4
A: функция увеличава с x∈ (-∞ 0) ∪ (2 + ∞); функция намалява, когато x∈ (0, 2);
минимална точка (2, 4); функция на максималната точка (0, 0).

Правило за намиране екстремум на функция у = F (х) чрез втората производна

1. Намери производно F '(х).
2. Намерете най-стационарни пунктове на функцията, т.е. точки, където F '(х) = 0.
3. Виж втората производно F '' (х).
4. За да се изследва знака на втората производна във всяка една от стационарни точки. Ако втората производна е отрицателен, тогава функцията на точка е максимум, и ако е положителен, а след това - най-малко. Ако втората производна е нула, до екстремум на функцията трябва да се търси с помощта на първата производна.
5. Изчисляват се стойностите на функцията на екстремум.

От това следва, че два пъти диференцируема функция е (х) е изпъкнала в интервала [а, б], ако вторият производно F "(х) ≥ 0 за всички х [а, Ь].

Всички изчисления може да се направи онлайн.

Пример №2. За да се изследва екстремум от втората производна на функцията: е (х) = х 2 - 2х - 3.
Решение: Виж производното: F '(х) = 2х - 2.
Решаването на F уравнение '(х) = 0, ние получаваме стационарна точка х = 1. Сега намери втората производна: F ' "(х) = 2.
От втората производно е положителен при неподвижна точка, е '' (1) = 2> 0, когато х = 1, функцията има минимален: Fmin = е (1) = -4.
A: Минималната точка има координати (1, 4).