Линейни неравенства, решаване на линейни неравенства

След като получи предварителна информация от неравенства с променливи. можете спокойно да преминем към въпроса за решаване на неравенства. Първият по този начин са и линейните неравенства в една променлива. В тази статия, ние ще анализираме по-подробно какви са те, какви методи съществуват за решаване на линейни неравенства, да дават подходящи алгоритми и разгледа в детайли конкретни примери и обяснения.

Просто имайте предвид, че тук ще говорим само за линейни неравенства в една променлива, и линейни неравенства в две променливи разпределят отделна статия.

Навигация в страниците.

Какво е линейна неравенство?

За да се определи началото, разбира се, че същото е линейна неравенство с една променлива. С други думи, трябва да се научите как да се линейни неравенства се появяват по общ начин, че те да могат да бъдат разграничени от другите видове неравенства.

Учебникът Mordkovich AG за 9 класове дава следната дефиниция:

Линеен неравенство с една променлива х се наричат ​​неравенство образуват · х + б> 0. където, вместо знака> естествено може да бъде всеки друг признак на (<, ≤, ≥), а a и b – действительные числа. причем a≠0.

Неравенството на форма А · хв. където х - променлива и А и В - някои номера се наричат ​​линейни неравенства в една променлива.

Така че, основната разлика между двете дефиниции се крие в две точки:

• под формата на запис (а · х + б> 0 в началото, и · х> С - във втория);
• и фактор допустимост равно на нула (а ≠ 0 - първи и може да бъде равна на нула - в секунда).

Първата точка не е от съществено значение в смисъл, че неравенството а · х + б> 0 и · х> С са еквивалентни неравенства. тъй като един мандат от друг трансфер може да се направи от една част към друга с обратен знак. Въпреки това, ние се даде предимство на първия запис, както направихме през говорим за линейни уравнения. По отношение на коефициента на променливата, на практика се среща, например, от неравенството 0 · х + 5> 0. и някак си, че ще трябва да се справи, така че ние няма да отхвърли случай а = 0.

За да обобщим нашите аргументи: че ние в бъдеще не е имало несъгласие, нека се съгласи да поеме линейни неравенства в една променлива неравенството х на форма В · х + б<0. a·x+b>0. · х + b≤0 и · х + b≥0. където А и В могат да бъдат всякакви реални числа. Разбираемо е, че променливата може да бъде определен не само с буквата х. но всяко друго писмо.

Според нашето споразумение, неравенството 4 · х-1> 0. 0 · Z + 2,3≤0. - примери за линейни неравенства. И тук неравенство 5 · х> 7. -0,5 · y≤-1,2, и т.н. Ще се обадим на неравенствата, които могат да бъдат редуцирани до линейни. Тук ние се отбележи, че много други неравенства могат да бъдат намалени до линейни неравенства, за тях ние все още се каже, в последния параграф на тази статия.

Как да решим линеен неравенство?

Сега е възможно да се разбере, как да се реши линейни неравенства с · х + б<0 (они могут быть записаны и с помощью любого другого знака неравенства).

Основният начин за решаването им е да се използват еквивалентни преобразувания, които позволяват да дойде в по ≠ 0 до основните неравенства на форма х

, ≥), р - някои числа, които са желания разтвор и когато а = 0 - да образуват числени неравенства

, ≥), от който за сключване на първоначалния несъответствието решение. Ние го анализираме, на първо място.

Също така не боли да погледнем в решаването на линейни неравенства в една променлива, както и от други позиции. Ето защо, ние ще покажем как да се реши линейни неравенства графично и метода на интервали от време.

Използвайки в размер преобразуване

Да предположим, че ние трябва да решим линеен неравенство на · х + б<0 (≤,>, ≥). Ще покажем как да направите това, като се използва преобразуване в размер на неравенство.

Подходи към тази различават в зависимост от равенството или неравенството на нула съотношение на променливата х. Нека да ги разгледа на свой ред. Освен това, като се има предвид, когато схемата се придържа към три точки: първо, ние ще дадем на същността на процеса, а след това - един алгоритъм за решаване на линейни неравенства, най-накрая, да доведе решения конкретни примери.

Да започнем с един алгоритъм за решаване на линейни неравенства с · х + б<0 (≤,>, ≥) с ≠ 0.

• На първо място, номер Б се прехвърля в дясната ръка с обратен знак. Това ви позволява да отидете на еквивалентната неравенство В · х<−b (≤,>, ≥).
• На второ място, разделянето се извършва от двете страни на това неравенство по различна от нула номер. По този начин, ако един - положително число, то знакът за неравенството все още е налице, и ако - отрицателно число, знакът на неравенството е наопаки. Резултатът е един елементарен неравенство еквивалентна на първоначалната линейна неравенство, това е отговорът.

Остава да се справят със звучна примери алгоритъм. Помислете колко решен с помощта на линейни неравенства когато ≠ 0.

Решаване на неравенство 3 · х + 12≤0.

За дадена линейна неравенство имаме = 3 и б = 12. Очевидно е, че коефициентът на променлива х не е нула. Ние използваме подходящ алгоритъм разтвор горе.

Първо, понятието в момента текат 12 от дясната страна, не забравяйте да се промени знака си, това е, от дясната страна ще бъде -12. Това води до неравенството е еквивалентно 3 · x≤-12.

И второ, ние разделяме двете страни на неравенството, получен чрез 3 от 3 - положително число, а след това не се променя знака на неравенството. Имаме (3 · х) # 58; 3≤ (-12) # 58; 3. което е същото x≤-4.

Получени елементарен неравенство x≤-4 е еквивалентно на оригиналните линейни неравенства и е желателно разтвор.

Така, разтворът на линейно неравенство 3 · х + 12≤0 е всяко реално число по-малко от или равно на минус четири. Отговорът може да бъде написана под формата на цифров интервал. съответстващ неравенство x≤-4. т.е., като (-∞, -4].

Придобиване на умения за работа с линейни неравенства и техните решения могат да бъдат записани без кратко обяснение. В тази първа запис първоначалната линейна неравенството, и по-долу - това размер неравенството, получените разтвори във всяка стъпка:
3 · х + 12≤0;
3 · x≤-12;
x≤-4.

x≤-4 или (-∞, -4].

Списък на всички разтвори на линеен неравенства -2,7 · Z> 0.

Тук коефициент на променливата Z е равна на -2.7. А коефициент б не е изрично, т.е., тя е равна на нула. Затова първата стъпка на алгоритъма за решаване на линейни неравенства в една променлива не е необходимо, тъй като прехвърлянето на нула отляво надясно не променя усещането на оригиналната неравенство.

Остава да се разделят двете страни на неравенството от -2.7. не забравяйте да смените знака на неравенството се възстановява, като -2.7 - отрицателно число. Имаме (-2,7 · Z) # 58 (- 2.7)<0:(−2,7). и дальше z<0.

Сега, накратко:
-2,7 · Z> 0;
Z<0.

Z<0 или (−∞, 0).

Ние трябва да решим линеен неравенство е фактор с променлива х. равна -5. и с коефициент б. което съответства на фракция -15/22. Действайки по добре познат модел: -15/22 прехвърлена първо към дясната страна с обратен знак, след извършване на разделяне на двете страни на неравенство -5 отрицателно число. промяна на знака на неравенството:

Последният етап в дясната част на правилото се използва с различен брой разделителни марка, и след това разделяне се провежда на общата фракция число.

Сега ние се обръщаме към случая, когато а = 0. Принципът на разтвора на линейна неравенството на · х + б<0 (знак, естественно, может быть и другим) при a=0. то есть, неравенства 0·x+b<0. заключается в рассмотрении числового неравенства b<0 и выяснении, верное оно или нет.

Какво е това на базата? Много просто: някои решения на неравенството. Как? Да, това е, което: независимо от стойността на х, ние не са формулирани в оригиналната линейно неравенство, получаваме числовата неравенството на формуляра б<0 (так как при подстановке любого значения t вместо переменной x мы имеем 0·t+b<0. откуда b<0 ). Если оно верное, то это означает, что любое число является решением исходного неравенства. Если же числовое неравенство b<0 оказывается неверным, то это говорит о том, что исходное линейное неравенство не имеет решений, так как не существует ни одного значения переменной, которое обращало бы его в верное числовое равенство.

Ние формулира тези аргументи под формата на алгоритъм за решаване на линейни неравенства 0 · х + б<0 (≤,>, ≥).

• Ние считаме, че цифровата неравенство б<0 (≤,>, ≥) и
  • ако това е вярно, тогава разтворът на оригиналния неравенството е всяко цяло число;
  • ако тя не е наред, тогава началната линейна неравенството все още няма решения.

Сега нека да се справят с тези примери.

Решаване неравенството 0 · х + 7> 0.