Линейно диференциално уравнение от втори ред, примери, разтвори

В тази статия ще разгледаме основните принципи на намирането на общи решения на линейни хомогенни и нехомогенни втори ред диференциални уравнения и анализира подробно няколко примера за решения.

Хомогенна линеен втори ред диференциално уравнение е на формата, и неравномерно, където F функция (х). р (х) и р (х) - са непрекъснато върху интервала на интеграция X. В конкретния случай, когато функция р (х) = р и р (х) = Q е константа, намирането на общ разтвор, описан в раздели хомогенни линейни втория ред диференциални уравнения с постоянни коефициенти и нехомогенни линейни втори ред диференциални уравнения с постоянни коефициенти.

В това, което се търси като общо решение на линейни обикновени диференциални уравнения и LNDU втори ред? Ние формулираме две теореми, които отговарят на този въпрос.

Y0 общ разтвор на хомогенна линейна диференциално уравнение на X на интервал с непрекъснати коефициенти на X е линейна комбинация от п линейно независими специално разтвори на линейни обикновени диференциални уравнения с произволни постоянни коефициенти, т.е..

Общият разтвор на у нехомогенни линеен диференциално уравнение в X на интервал с непрекъснато в същия интервал коефициенти X и функцията F (х) е сумата където Y0 - общото решение съответния линеен обикновени диференциални уравнения, и - всеки отделен източник разтвор LNDU.

• Y0 = C1 ⋅Y 1 + С2 ⋅y2 - общото решение на диференциално уравнение, където Y1 и Y2 - си линейно независими специфични решения,
• и - общото решение където - някоя от неговите специфични решения, и Y0 - общото решение на съответните линейни обикновени диференциални уравнения.

Остава да се научите как да се намери y1. и y2.

В най-простите случаи, са избрани тези функции.

Линейно независими функции Y1 и Y2 са сред най-често задава

Линейният независимостта на y1 на функции и y2 се проверява с помощта на Wronskian. Ако функциите са линейно независими в обхвата X. Wronski определящ различна от нула за всички х в интервала X.

Например функциите Y1 = 1 и Y 2 = х са линейно независими за всяка действителна стойност х. тъй като.

Функция y1 = sinx и Y2 = cosx също линейно независими на R. От

Но функцията на Y1 = - х - 1 и Y 2 = х + 1 са линейно зависими от интервала (-∞ + ∞). защото

Като цяло, изборът на y1. y2 и труден и не винаги е възможно.

Ако това ще вземете nontrivial (различна от нула) y1 линейни обикновени диференциални уравнения от втори ред частично решение, е възможно да се намери общо решение, намаляване на степента на уравнението на първия чрез заместване.

Виж общото решение на хомогенна линейна втори ред диференциално уравнение.

Лесно е да се отбележи, че Y 1 = х е определен разтвор на диференциално уравнение за х ≠ 0. намали степента на първоначалното уравнение чрез заместване от.

Ако си спомняте правилото за диференциране на продукта и свойствата на неопределен интеграл. на

.

Заместването на тези резултати в оригиналната уравнението, стигаме до диференциално уравнение с много променливи:

Интегрирането на двете страни, ще получите след усилването на общото решение може да се запише като, където C - е произволна константа.

Тъй като приема, че общото решение на изходните линейни обикновени диференциални уравнения от втори ред ще бъде където (х) функция F е един от примитивите.

Primitive на F (х) не може да бъде изразена по отношение на елементарни функции.

При решаването нехомогенни линеен втори ред диференциално уравнение, ако не може да намери Y1 и Y2. вие не можете да се справят с избора. LNDU общ разтвор може да бъде намерена по метода на вариация на произволни константи.

В този случай, Linear обикновени диференциални уравнения общ разтвор е Y0 = C1 ⋅ Y 1 + С2 ⋅ y2. Различни произволните константи, като общите решения LNDU приеме Y0 = С1 (х) ⋅ Y 1 + С2 (х) ⋅ y2. Производни на неизвестни функции С1 (X) и С2 (X) се определят от системата от уравнения и функции С1 (х) и С2 (х), получено в следващия интеграция.

Намерете общото решение на нехомогенни линейни втори ред диференциално уравнение.

Лесно е да се забележи, че линейно независими конкретни решения на съответните линейни обикновени диференциални уравнения и са, т.е.. Различна произволните константи, и като общо решение на оригиналния диференциално уравнение ще отнеме.

Представлява система от уравнения

За решаване на проблема ние използваме метода на Крамер:

Интегриране на получените изрази за намиране С1 (х) и С2 (х):

По този начин, общото решение на първоначалната линейна нехомогенни диференциално уравнение от втори ред има формата.

• Общият разтвор на втори ред линейни обикновени диференциални уравнения очаквания като Y0 = C1 ⋅Y 1 + С2 ⋅y2. където Y1 и Y2 - си линейно независими специфични решения. Частен разтвори Y1 и Y2 са избрани (обикновено известен система за линейно независими функции). Y1 и Y2 да избират не винаги винаги е възможно, следователно, да се намери общо решение на диференциално уравнение не е възможно. Ако намери един конкретен решение y1, редът на уравнението може да бъде намалена с първата по промяната. Определяне на получената уравнение, общ разтвор е източник на втория ред линейни обикновени диференциални уравнения.
• Общият разтвор LNDU втори ред търси под формата където - всички частични решения на играта, и Y0 - общия разтвор, съответстващ линейни обикновени диференциални уравнения. По този начин, първата е Y0 - общото решение на диференциално уравнение (ако е възможно), след което е избрано (ако е наличен). Или първо избран Y1 и Y2 (както искате), а LNDU общото решение се определя от промяната на произволни константи.

• Èl'sgol'ts LE Диференциални уравнения и смятане на варианти.