от втори ред диференциални уравнения, безплатни курсови работи, есета и дисертации

където - независима променлива - желаната функция, първи и втори производни.

теорема на Коши относно съществуването и уникалността на решения на втори ред диференциално уравнение. Нека функцията и нейните частни производни са непрекъснати в някаква област на пространството променливи. След това за всеки интериор точка на региона има уникално решение, което отговаря на условията.

Условия се наричат ​​начални условия. и задачата за намиране на решение на уравнението на снимачната площадка ...
първоначалните условия, се нарича проблема Коши.

Пример. Намиране на решение на проблема Коши.

Решение: Нека да намерим общото решение:

Ние използваме началните условия и да намерят конкретно решение:

Отговор: - Решението на проблема Коши.

Видовете от втори ред диференциални уравнения:

1. уравнение позволява намаляване на ред. Има три вида:

А). За разтвори използва замяна :. след това. а.

B). В този случай, промяна има формата :. след това. а.

B). Замяна :. След това. и общото решение може да се запише като :.

Пример. Намиране на решение на уравнението.

Решение: В този случай. Ето защо, ние използваме смяна и се получи едно уравнение с разделящи се променливи

Извършване на обратната промяна:

2. линеен втори ред диференциално уравнение - уравнението на формата :. при което - желаната функция, - известно непрекъсната функция в интервала. Ако. уравнението се нарича хомогенна линейна диференциално уравнение. Ако. линейната нехомогенна диференциално уравнение.

А) разглежда хомогенна линейна втори ред диференциално уравнение с постоянни коефициенти. , където - реалните числа.

Линеен втори ред диференциално уравнение има две основни разтвори, за които е изграден общото решение. Решения и уравнения се наричат ​​линейно независими. ако тяхната линейна комбинация е равна на нула. само когато.

Теорема. Нека решенията и уравненията са линейно независими от интервал. Тогава функцията. и където - произволните константи, общото решение на хомогенна уравнение.

Ще се търси решение на уравнението във формата. където - някои номер. Ние събрахме тази функция в уравнението и да получите. Ние разделят двете страни и ще има - уравнението се нарича характеристика уравнението на диференциално уравнение.

Общият разтвор зависи от корени и има характерен уравнение.

Теорема. Ако корените на характеристика уравнение:

· Реал и различни, т.е. , тогава общото решение на хомогенна диференциално уравнение е.

· Реал и равни помежду си, т.е. , тогава общото решение на хомогенна диференциално уравнение е.

· Комплекс. къде. и и - реални числа, тогава общото решение на хомогенна диференциално уравнение е. къде.

И в трите случая - произволни константи.

Пример. Намери общо решение: а); б); в).

а) характеристика уравнение има формата :. Тя има два различни реални корени. Ето защо.

б) характеристика уравнението :. Той има две реални корени, равни помежду си. тогава общото решение е.

в) характеристика уравнението :. В този случай, ние имаме комплексни корени. Ето защо.

Б) от втори ред нехомогенното уравнение - това е вид уравнение.

Общият разтвор на нехомогенни втори ред диференциално уравнение е сумата от общия разтвор на съответния хомогенна диференциално уравнение и конкретен разтвор на нехомогенни диференциално уравнение. т.е. ,

Вижте специално разтвор зависи от функцията и характеристика уравнение:

· Ако. където - полином от степен. След това. където - полином от степен по общ начин, и

· Ако. където - дава реални числа. След това. където - непознати номера, както добре.

Пример. Намиране на решение на уравнението.

Решение: Ние намери общото решение на съответното хомогенно уравнение. което ще приеме формата на :.

Ние търсим конкретно решение на формуляра. след това. , Заместник в оригиналния уравнение:

Следователно ,. и общия разтвор.

Пример. Намиране на решение на проблема Коши:

Решение: Ние намери общото решение на съответното хомогенно уравнение. което ще приеме формата на :.

Ние търсим конкретно решение на формуляра. след това. , Заместник в оригиналния уравнението :. т.е. ,

Общият разтвор на уравнението под формата :.

Ние считаме, постоянна стойност на определените начални условия: