Линеен хетерогенна ред втори ред

Методът на неопределени коефициенти

Ако дясната страна на нехомогенни диференциално уравнение (1) е полином, експоненциална или тригонометрична функция (или комбинация от тези функции):







След това решението е по-удобно да се търси помощта на метода на неопределени коефициенти.

И в двата случая, под формата на разтвор специално съответства на структурата на дясната страна на оригиналната нехомогенна диференциално уравнение.

1) Ако дясната страна на уравнение (1) има формата (7), а след това на специално Разтворът бе открита във формата:

при което - полином от степен п с неизвестни коефициенти и S = ​​0, когато това не е корен на характерната полином, или множество S, където - основата на характеристика полином.

2) Ако от дясната страна на уравнение (1) има формата (8), в частност разтвор ще се търси, както следва:

Тук - полиноми на степен к с неопределен коефициенти и S = ​​0 (не е корен на характеристика полином) или множество S - основата на характеристика полином.

Неизвестно полином коефициенти се определят чрез заместване на изразите за конкретните решения на изходния нехомогенни диференциално уравнение (1).

(Принцип на суперпозиция). Ако дясната нехомогенни диференциално уравнение от втори ред (1) е сумата от няколко функции на формата (7), (8), а след това на специално решение на това уравнение също ще е сумата от частични решения изградени отделно за всеки термин от дясната страна.







Намерете общото решение на уравнението

Помислете за хомогенно уравнение:

Съответният характеристика уравнение

Ние намери своето решение:

Това е разтвор на хомогенна уравнение

Ще се търси конкретно решение на оригиналния нехомогенно уравнение от вида на дясна страна. Препишете тази функция, както следва:

Това означава, че дясната страна на нехомогенни уравнение има формата (8). След това конкретно решение, съгласно точка (10), намерено във формата:

За намирането на неизвестни коефициенти D и заместване на специално решение на оригиналния уравнението. За това ние откриваме първата и втората производни от него:

Ние замени изразите, получени при първоначалното диференциално уравнение. В резултат на опростяването имаме:

Нарежете лявата и дясната страна на последното равенство по:

По този начин, общото разтвор на изходната, не-хомогенна уравнение

Първо, ние се намери решение на съответното хомогенно уравнение. му характеристика

В дясната част на първоначалната нехомогенни уравнението представлява сумата от две функции. След това, в съответствие с принципа на наслагване, определена разтвор на даден уравнението е равна на сумата на отделните решения, съответстващи на всяко от тези функции:

Първият частичен разтвор

заместващ го в оригиналната формула, за да намерите производни на първи и втори ред:

Тогава уравнението е:

За да намерите най-неизвестни коефициенти, които използваме факта, че двете полиноми са равни, ако равни коефициенти на съответните правомощия. Резултатът е една система:

отговаря конкретно решение на следната структура:

Заместник в оригиналния уравнение:

Така, изходният разтвор на нехомогенни диференциално уравнение